Question

10．已知函数f（x）=x³-3ax-1，a≠0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在x=-1处取得极值，且函数g（x）=f（x）-m有三个零点，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设h（x）=f（x）+（3a-1）x+1，证明过点P（2，1）可以作曲线h（x）的三条切线．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出f′（1），得到关于a的方程，解出即可求出f（x）的表达式，从而求出函数的单调区间，求出函数的极值，得到符合条件的m的范围即可；
（Ⅲ）问题等价于方程2t³-6t²+3=0有三个不同解，设ϕ（t）=2t³-6t²+3，根据函数的单调性求出ϕ（t）的极大值和极小值，从而证出结论．

解答 （Ⅰ）解：f'（x）=3x²-3a=3（x²-a），…（1 分）
当a＜0时，对于x∈R，f'（x）＞0恒成立，
所以，当a＜0时，f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递增；      …（2 分）
当a＞0时，由f'（x）＞0，解得$x＜-\sqrt{a}$或$x＞\sqrt{a}$，
由f'（x）＜0，解得$-\sqrt{a}＜x＜\sqrt{a}$，
所以，当a＞0时，f（x）在区间$（-∞{，_{\;}}-\sqrt{a}]$和区间$[\sqrt{a}{，_{\;}}+∞）$上单调递增，
在区间$[-\sqrt{a}{，_{\;}}\sqrt{a}]$上单调递减．…（4 分）
（Ⅱ）解：因为f（x）在x=-1处取得极值，
所以f'（1）=3×（-1）²-3a=0，故a=1．…（5 分）
则f（x）=x³-3x-1，f'（x）=3x²-3，
由f'（x）=0，解得x=-1或x=1．
由（Ⅰ）中f（x）的单调性，可知f（x）在x=-1处取得极大值f（-1）=1，
在x=1处取得极小值f（1）=-3．…（7 分）
因为函数g（x）=f（x）-m有三个零点，
而在极大值点左侧存在f（-3）=-19＜f（1），
在极小值点右侧存在f（3）=17＞f（-1），
所以m＜f（-1）且m＞f（1），即实数m的取值范围（-3，1）．…（9 分）
（Ⅲ）证明：依题意，h（x）=（x³-3ax-1）+（3a-1）x+1=x³-x，…（10分）
则h（x）=x³-x在点（t，h（t））处的切线方程为y=（3t²-1）x-2t³．…（11分）
若切线过点P（2，1），则1=2（3t²-1）-2t³，即2t³-6t²+3=0．
过点P（2，1）可以作曲线h（x）的三条切线等价于
方程2t³-6t²+3=0有三个不同解．…（12分）
设ϕ（t）=2t³-6t²+3，则ϕ'（t）=6t²-12t=6t（t-2），
因为ϕ（t）在R上有唯一极大值ϕ（0）=3＞0和唯一极小值ϕ（2）=-5＜0，
且在极大值点左侧存在ϕ（-1）=-5＜0，在极小值点右侧存在ϕ（3）=3＞0，
因此方程ϕ（t）=0有三个不同解．
所以过点P（2，1）可以作曲线h（x）的三条切线．…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查函数的零点，曲线的切线方程，是一道综合题．