Question

有标号为1、2、3、4、5、的五个红球和标号为1、2的两个白球，将这七个球排出一排，使两端都是红球．
（1）如果每个白球的两边都是红球，有多少种排法？
（2）如果1号红球和1号白球相邻排在一起，有多少种排法？
（3）同时满足上述两个条件的排法是多少种？

Answer 1

考点：排列、组合及简单计数问题

专题：排列组合

分析：（1）利用抽空法，按照先特殊再一般的原则进行排列即可．
（2）采用捆绑法把1号红球和1号白球当作一个元素要注意它本身的顺序．
（3）结合（1）（2）的做法进行排列即可．

解答： 解：（1）利用抽空法，先排5个红球，再将2个白球插入到所形成的4个间隔（不包含两端）中，故有

A

5 5

•

A

2 4

=1440种；
（2）把1号红球和1号白球捆绑在一起，第一类，先排2个红球在两端，剩下2个红球和2号白球以及复合元素（1号红球和1号白球），进行全排列，故有

A

2 2

•

A

2 4

•

A

4 4

=576种，
第二类，1号红球排在两端，先排列剩下4个红球，再插入2号白球，故有

A

1 2

•

A

4 4

•

A

1 4

=192种，
根据分类计数原理，故有576+192=768种；
（3）把1号红球和1号白球捆绑在一起，看作一个复合元素，
第一类，当1号红球排在两端，先排列剩下4个红球，再插入2号白球，且满足每个白球的两边都是红球，故有

A

1 2

•

A

4 4

•

A

1 3

=144种，
第二类，当1号红球排在不在两端时，且不与2号白球相邻，先排列剩下4个红球，再插入复合元素和2号白球，故有

A

4 4

•

A

1 2

•

A

2 3

=288种，
第三类，当1号红球排在不在两端时，且与2号白球相邻，先把两个白球捆绑在1号红球两边看一个复合元素，插入到剩下4个红球排列形成的三个间隔中，故有

A

2 2

•A

4 4

•

A

1 3

=144种，
根据分类计数原理，故有144+288+144=576种．

点评：本题考查了分类计数原理以及相邻问题用捆绑，不相邻问题用插空，关键是如何分类，属于中档题．