Question

过点M（0，-1）的直线l交双曲线2x²-y²=3于两个不同的点A，B，O是坐标原点，直线OA与OB的斜率之和为1，求直线l的方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设过点M（0，-1）的直线l为y=kx-1，代入双曲线2x²-y²=3，消去y，得到关于x的方程，运用判别式大于0，韦达定理，结合直线的斜率公式，计算即可得到k，进而得到所求直线方程．

解答： 解：设过点M（0，-1）的直线l为y=kx-1，
代入双曲线2x²-y²=3，可得（2-k²）x²+2kx-4=0，
判别式4k²+16（2-k²）＞0，解得-

2 6

3

＜k＜

2 6

3

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

-2k

2-k2

，x₁x₂=

-4

2-k2

，
由直线OA与OB的斜率之和为1，
则

y1

x1

+

y2

x2

=1，
即

kx1-1

x1

+

kx2-1

x2

=1，
即有2k-1=

x1+x2

x1x2

=

-2k

-4

，
解得k=

2

3

．
检验k=

2

3

时，判别式大于0．
则有直线l的方程为y=

2

3

x-1．

点评：本题考查直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理，考查运算能力，属于基础题．