Question

已知正项等比数列{a_n}中，公比q＞1，2a₃与

3

2

a₅的等差中项为2a₄，a₂与a₆的等比中项为8．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

4a1q3=2a1q2+ 3 2 a1q4 a1q•a1q5=64

，由a₁＞0，q＞0，解得a₁=1，q=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=log₂a_n=log22n-1=n-1，得a_n+b_n=2^n-1+n-1，由此利用分组求和法能求出数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵正项等比数列{a_n}中，公比q＞1，2a₃与

3

2

a₅的等差中项为2a₄，a₂与a₆的等比中项为8，
∴

4a1q3=2a1q2+ 3 2 a1q4 a1q•a1q5=64

，
由a₁＞0，q＞0，解得a₁=1，q=2，
∴an=2n-1．
（2）∵b_n=log₂a_n=log22n-1=n-1，
∴a_n+b_n=2^n-1+n-1，
∴S_n=1+2+2²+…+2^n-1+（1+2+3+…+n）-n
=

1-2n

1-2

+

n(n+1)

2

-n
=2ⁿ

n2-n

2

-1．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列性质的合理运用，注意分组求和法的合理运用．