Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n-b_n-1=a_n（n≥2，n∈N^*），b₁=0，求证：对任意n≥2，n∈N^*，

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）由b_n-b_n-1=a_n=2n-1，b₁=0．利用“累加求和”、等差数列的前n项和公式可得b_n=n²-1，当n≥2时，

1

bn

=

1

n2-1

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)，利用“累加求和”、“放缩法”即可得出．

解答： （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵S₄=4S₂，∴4a1+

4×3

2

d=4×（2a₁+d），化为2a₁=d，
∵a_2n=2a_n+1，取n=1，则a₂=2a₁+1，即a₁+d=2a₁+1，化为d=a₁+1．
联立

2a1=d d=a1+1

，解得

a1=1 d=2

，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴a_n=2n-1．
（2）证明：∵b_n-b_n-1=a_n=2n-1，b₁=0．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（2n-1）+（2n-3）+…+3+0
=

(n-1)(3+2n-1)

2

=n²-1．
当n=1时也成立．
∴b_n=n²-1，
∴当n≥2时，

1

bn

=

1

n2-1

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)，
对任意n≥2，n∈N^*，

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-2

-

1

n

)+(

1

n-1

-

1

n+1

)]=

1

2

(1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)＜

1

2

×

3

2

=

3

4

．
∴对任意n≥2，n∈N^*，

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜

3

4

．

点评：本题考查了等差数列的前n项和公式、“累加求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题