Question

已知函数f（x）=

2

3

x+

1

2

，h（x）=

x

，设n∈N^*，证明：f（n）h（n）-[h（1）+h（2）+…+h（n）]≥

1

6

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：由已知得f（n）h（n）-

1

6

=

4n+3

6

n

-

1

6

，a₁=S₁=1，对任意的k＞2，有an＞

k

，a₁+a₂+…+a_n≥

1

+

2

+…+

n

，由此能证明f（n）h（n）-[h（1）+h（2）+…+h（n）]≥

1

6

．

解答： 证明：∵函数f（x）=

2

3

x+

1

2

，h（x）=

x

，设n∈N^*，
∴h（1）+h（2）+…+h（n）=

1

+

2

+…+

n

，
f（n）h（n）-

1

6

=

4n+3

6

n

-

1

6

，
从而a₁=S₁=1
当k≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

4k+3

6

k

-

4k-1

6

k-1

，
又a_n-

k

=

1

6

[（4k-3）

k

-（4k-1）

k-1

]=

1

6

•

(4k-3)2-(4k-1)2(k-1)

(4k-3) k +(4k-1) k-1

=

1

6

•

1

(4k-3) k +(4k-1) k-1

＞0，
∴对任意的k＞2，有an＞

k

，
又∵a₁=1=

1

，所以a₁+a₂+…+a_n≥

1

+

2

+…+

n

，
则S_n≥h（1）+h（2）+…+h（n），
故f（n）h（n）-[h（1）+h（2）+…+h（n）]≥

1

6

．

点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意作差比较法的合理运用．