Question

已知等比数列{a_n}的公比q＞1，前n项和为S_n，S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4成等差数列，数列{b_n}的前n项和为T_n，6T_n=（3n+1）b_n+2，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式即可得出；
（Ⅱ）利用“n=1时b₁=T₁；n≥2时，b_n=T_n-T_n-1”和“累乘求积”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵S₃=7，∴a₁+a₂+a₃=7，
∵a₁+3，3a₂，a₃+4成等差数列，∴6a₂=a₁+3+a₃+4，
联立可得

a1(1+q+q2)=7 6a1q=a1+a1q2+7

，解得

a1=1 q=2

．
∴an=2n-1．
（Ⅱ）∵6T_n=（3n+1）b_n+2，其中n∈N^*．当n≥2时，6T_n-1=（3n-2）b_n-1+2，b₁=1．
∴6b_n=（3n+1）b_n-（3n-2）b_n-1，
化为

bn

bn-1

=

3n-2

3n-5

．
∴b_n=

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

…

b2

b1

•b1
=

3n-2

3n-5

•

3n-5

3n-8

…

4

1

×1=3n-2．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，解答（Ⅱ）时利用“n=1时b₁=T₁，n≥2时，b_n=T_n-T_n-1”采用“累乘求积”求解，属中档题．