Question

已知函数f（x）的自变量取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A为f（x）的保值区间．若函数g（x）=x+m-lnx的保值区间是[

1

2

，+∞），则m的值为

 

．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得g（x）=x+m-lnx在x∈[

1

2

，+∞）的值域为[

1

2

，+∞），求导数可得g（x）的单调性，可得g（1）=

1

2

，解m的方程可得．

解答： 解：由题意可得g（x）=x+m-lnx在x∈[

1

2

，+∞）的值域为[

1

2

，+∞），
求导数可得g′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
令g′（x）=

x-1

x

＜0，可解得0＜x＜1，
∴g（x）=x+m-lnx在x∈[

1

2

，1）单调递减，
同理由g′（x）＞0，可解得x＞1，
∴g（x）=x+m-lnx在x∈（1，+∞）单调递增，
∴当x=1时，函数g（x）=x+m-lnx取最小值，
∴g（1）=1+m-ln1=

1

2

，解得m=-

1

2

故答案为：-

1

2

．

点评：本题考查对数函数的性质，涉及导数法判函数的单调性，属中档题．