Question

若函数f（x）=x²+2x的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在点A、B处的切线互相垂直，则2x₁-x₂的最大值是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：由题意及导数的几何意义得出f′（x₁）•f′（x₂）=-1，化简得(x1+1)+(x2+1)=-

1

4

，然后将2x₁-x₂写成2（x₁+1）-（x₂+1）-1，再根据不等式的性质即可求解．

解答： 由导数的几何意义知，点A处切线的斜率为f′（x₁），点B处的切线的斜率为f′（x₂），
函数f（x）的图象在点A、B处的切线互相垂直时，
有f′（x₁）•f′（x₂）=-1，
即（2x₁+2）（2x₂+2）=-1．
从而x1+1=

-1

4(x2+1)

．
又点A、B必在函数f（x）=x²+2x图象的对称轴x=-

2

2×1

=-1的两边，
显然x₁＜-1＜x₂，此时x₁+1＜0，x₂+1＞0．
故2x₁-x₂=2（x₁+1）-（x₂+1）-1
=-[-2（x₁+1）+（x₂+1）]-1
≤-

2 4(x2+1) •(x2+1)

-1
=-

2 +2

2

从而2x₁-x₂的最大值为-

2 +2

2

．

点评：本题主要考查导数的几何意义及不等式的性质，将2x₁-x₂写成2（x₁+1）-（x₂+1）-1，再利用(x1+1)+(x2+1)=-

1

4

是解决本题的关键．