Question

已知函数f（x）=

a+x2+2x，x＜0 f(x-1)，x≥0

，且函数y=f（x）+x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意，原函数的零点可转化为y=f（x）与y=-x的图象交点的个数问题，然后据题意画出它们的图象，判断何时有三个交点即可．

解答： 解：因为当x≥0的时候，f（x）=f（x-1），
当x∈[0，1）时，x-1∈[-1，0），此时f（x）=f（x-1）=a+（x-1）²+2（x-1）
当x∈[1，2）时，x-2∈[-1，0），此时f（x）=f（x-2）=f（x-2）=a+（x-2）²+2（x-2）
依此类推，f（x）在x＜0时为二次函数y=a+x²+2x=（x+1）²+a-1，
在x≥0上为周期为1的函数，重复部分为y=a+x²+2x=（x+1）²+a-1在区间[-1，0）上的部分．
二次函数y=a+x²+2x=（x+1）²+a-1顶点为（-1，a-1），
y=f（x）+x恰有3个不同的零点，即y=f（x）与y=-x的图象有三个不同的交点．
做出它们的图象如下：

可知：只要是函数y=f（x）图象上的点C在直线y=-x上或在该直线的下方，就能保证直线和函数y=f（x）的图象产生三个不同的交点．
因此只需a-1≤0，即a≤1即可．
故答案为（-∞，1]．

点评：本题考查了利用函数的图象判断函数零点的个数问题的解题思路，要注意准确画图．