Question

设向量

a

=（

3

sinx，cosx），向量

b

=（cosx，-cosx），记f（x）=

a

•

b

+

1

2

（1）写出函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[

π

6

，

π

2

]求函数f（x）的最大值及取得最大值时对应的x的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积你的坐标表示和二倍角的正弦、余弦公式和两角差的正弦公式，化简f（x），再由周期公式即可得到；
（2）由x的范围，可得2x-

π

6

的范围，结合正弦函数的值域，即可得到所求最大值和对应的x的值．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

+

1

2

=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

+

1

2

=sin（2x-

π

6

）．
则f（x）的最小正周期T=

2π

|ω|

=

2π

2

=π．
（2）由x∈[

π

6

，

π

2

]，则2x-

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，
当2x-

π

6

=

π

2

即x=

π

3

时，
函数f（x）的最大值及取得最大值1．

点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，主要考查二倍角公式和两角差的正弦公式，考查周期公式及正弦函数的图象和性质，属于基础题．