Question

设f（x）满足f（x₁）+f（x₂）=2f（

x1+x2

2

）•f（

x1-x2

2

）且f（

π

2

）=0，x∈R，求证：f（x）是周期函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：用赋值法可以得到f（x）与f（-x）的关系，即判断函数的奇偶性，以及f（

π

2

）=0，再进一步令x₁=x，x₂=π-x即可得f（π-x）+f（x）=0，结合函数周期性的定义即可得到结论．

解答： 解：令x₁=x₂，有2f（x₁）=2f（x₁）f（0），
则f（0）=1；
令x₁=x，x₂=-x，
有f（x）+f（-x）=2f（x），即f（x）=f（-x）；
故函数f（x）为偶函数，
令x₁=x，x₁+x₂=π，即x₂=π-x，
得f（x）+f（π-x）=2f（

π

2

）f（2x-π）=0，
∴f（x）=-f（π-x）=-f（x-π），
则f（x+π）=-f（x），
即f（x+2π）=-f（x+π）=f（x），
故函数f（x）是周期为2π的周期函数．

点评：本题是抽象函数的应用问题问题以及函数周期性的证明，考查了函数的奇偶性、对称性，同时也考查了学生解决探索性问题的能力．利用赋值法是解决抽象函数的基本方法．