Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点．
（1）求证：直线OG∥平面EFCD；
（2）求证：直线AC⊥平面ODE．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线线平行推出线面平行；（2）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．

解答： 证明（1）∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，∴点O是BD的中点，
∵点G为BC的中点∴OG∥CD，…（3分）
又∵OG?平面EFCD，CD?平面EFCD，∴直线OG∥平面EFCD．…（7分）
（2）∵BF=CF，点G为BC的中点，∴FG⊥BC，
∵平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD=BC，FG?平面BCF，FG⊥BC∴FG⊥平面ABCD，…（9分）
∵AC?平面ABCD∴FG⊥AC，
∵OG∥AB，OG=

1

2

AB，EF∥AB，EF=

1

2

AB，∴OG∥EF，OG=EF，
∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO，…（11分）
∵FG⊥AC，FG∥EO，∴AC⊥EO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，
∵AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO=O，EO、DO在平面ODE内，
∴AC⊥平面ODE．…（14分）

点评：本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，本题属于中档题．