Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F与双曲线

x2

4

-

y2

5

=1的右焦点重合，设AB为过抛物线C焦点的弦，则|AB|的最小值为（　　）

• A、3
• B、6
• C、12
• D、24

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据抛物线方程可得焦点坐标，进而可设直线L的方程与抛物线联立根据韦达定理求得x₁+x₂，进而根据抛物线定义可求得|AB|的表达式，整理可得|AB|=12（1+

1

k2

），进而可知当a=90°时AB|有最小值．

解答： 解：双曲线

x2

4

-

y2

5

=1的右焦点（3，0），抛物线的焦点F坐标（3，0），
可得抛物线方程为：y²=12x．
设直线L过F，斜率存在时，则直线L方程为y=k（x-3），
联立y²=12x得k²x²-（6k²+12）x+9k²=0，
由韦达定理得x₁+x₂=6+

12

k2

，
|AB|=x₁+x₂+6=12+

12

k2

=12（1+

1

k2

）＞12，
当k→∞时|AB|→12；
当a=90°时，即AB垂直于X轴时，AB=12，
综上所述，AB的最小值是12．
故选：C．

点评：本题主要考查抛物线的应用．这道题综合了抛物线的性质、抛物线的焦点弦、直线与抛物线的关系等问题．综合性很强．