Question

（1）设不等式|2x-1|＜1的解集为M，且a∈M，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小；
（2）若a，b，c为正实数且满足a+2b+3c=6，求

a+1

+

2b+1

+

3c+1

的最大值．

Answer 1

考点：一般形式的柯西不等式,不等关系与不等式

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）由|2x-1|＜1 可得-1＜2x-1＜1，求出x的范围，即可得到集合M，可得0＜a＜1，0＜b＜1，根据（ab+1）-（a+b）=（a-1）（b-1）＞0，得到ab+1与a+b的大小．
（2）由题意可得，3[（a+1）+（2b+1）+（3c+1）]=27．再利用柯西不等式可得27≥（

a+1

+

2b+1

+

3c+1

）²，由此可得

a+1

+

2b+1

+

3c+1

的最大值．

解答： 解：（1）由|2x-1|＜1 可得-1＜2x-1＜1，∴0＜x＜1，集合M=（0，1）．
∴0＜a＜1，0＜b＜1，
∴（ab+1）-（a+b）=（a-1）（b-1）＞0，
∴ab+1＞a+b；
（2）由a+2b+3c=6，可得（a+1）+（2b+1）+（3c+1）=9，
∴3[（a+1）+（2b+1）+（3c+1）]=27．
再利用柯西不等式，可得（1+1+1）•[（a+1）+（2b+1）+（3c+1）]=27≥（

a+1

+

2b+1

+

3c+1

）²，
∴

a+1

+

2b+1

+

3c+1

≤3

3

，当且仅当

a+1

=

2b+1

=

3c+1

时，取等号，
故

a+1

+

2b+1

+

3c+1

的最大值为3

3

．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，用作差比较法比较两个式子的大小，考查利用柯西不等式求式子的最大值，式子的变形是解题的关键，属于中档题．