Question

在直角坐标系中，A（-2，0），B（2，0）是两个定点，C（0，p）．D（0，q）是两个动点，且pq=3．
（Ⅰ）求直线AC与BD交点的轨迹M的方程；
（Ⅱ）已知点P（1，t）是轨迹M上位于x轴上方的定点，E，F是轨迹M上的两个动点，直线PE与直线PF分别与x轴相交于G、H两点，且∠PGH=∠PHG，求直线EF的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由已知得直线AC的方程，得到p=

2y

x+2

，得直线BD的方程，得q=

-2y

x-2

，再由pq=3得直线AC与BD交点的轨迹M的方程；
（Ⅱ）把点P（1，t）代入M的轨迹方程得t=

3

2

．进一步得到P的坐标，设直线PE的斜率为k，写出直线PE方程，联立直线方程与M的轨迹，把E的坐标用k表示，同理把F的坐标用k表示，然后利用两点求斜率公式可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由A（-2，0），C（0，p），可得直线AC的方程为

y-0

p-0

=

x-(-2)

0-(-2)

，即p=

2y

x+2

．
由B（2，0），D（0，q），可得直线BD的方程为

y-0

q-0

=

x-2

0-2

，即q=

-2y

x-2

．
由pq=3，得

2y

x+2

•

-2y

x-2

=3，整理得：

x2

4

+

y2

3

=1，
∵pq≠0，∴C，D不与原点重合，即A（-2，0），B（2，0）不在轨迹M上，
∴直线AC与BD交点的轨迹M的方程为

x2

4

+

y2

3

=1（y≠0）；
（Ⅱ）∵点P（1，t）是轨迹M上位于x轴上方的定点，∴

1

4

+

t2

3

=1，解得t=

3

2

．
∴P（1，

3

2

），
设直线PE的斜率为k，则直线PE方程为y=k(x-1)+

3

2

，代入

x2

4

+

y2

3

=1，
得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(

3

2

-k)2-12=0．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
∵P（1，

3

2

）在曲线M上，
∴x1=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，y1=kx1+

3

2

-k，
又∠PGH=∠PHG，得直线PF的斜率为-k，
同理可得x2=

4( 3 2 +k)2-12

3+4k2

，y2=-kx2+

3

2

+k，
∴直线EF的斜率为kEF=

y2-y1

x2-x1

=

-k(x1+x2)+2k

x2-x1

．
∵x1+x2=

8k2-6

4k2+3

，x2-x1=

24k

4k2+3

，
∴kEF=

y2-y1

x2-x1

=

-k(x1+x2)+2k

x2-x1

=

-k(8k2-6)+24(4k2+3)

24k

=

1

2

．

点评：本题考查了曲线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的位置关系的应用，常采用直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力．