Question

已知S_n=1+

1

4

+

1

9

+…+

1

n2

，证明：n≥2时S_n＜

7

4

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由

1

n2

＜

1

n2-1

=

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

），利用裂项求和法能证明n≥2时，S_n＜

7

4

．

解答： 解：∵n≥2时，

1

n2

＜

1

n2-1

=

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

），
∴n≥2时，S_n=1+

1

4

+

1

9

+…+

1

n2

＜1+

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

）
=1+

1

2

（1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

）
=

7

4

-

1

n

-

1

n+1

．
∴n≥2时，S_n＜

7

4

．

点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意放缩法和裂项求和法的合理运用．