Question

设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z=(

1

tanB

-tanA)+(tanB-

1

tanA

)i对应的点位于复平面的第

 

象限．

Answer 1

考点：复数的代数表示法及其几何意义,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的图像与性质,数系的扩充和复数

分析：【解法一】用特殊值，令A=B=

π

3

，求出复数z的实部与虚部即可；
【解法二】根据题意，利用正切函数的单调性，得出tanA＞

1

tanB

＞0，tanB＞

1

tanA

＞0，判断复数z的实部与虚部是否大于0即可．

解答： 解：【解法一】用特殊值，令A=B=

π

3

，则

1

tan π 3

-tan

π

3

=

3

3

-

3

＜0，
tan

π

3

-

1

tan π 3

=

3

-

3

3

＞0，
∴复数z=(

1

tanB

-tanA)+(tanB-

1

tanA

)i对应的点位于复平面的第二象限．
【解法二】∵A，B为锐角三角形的两个内角，
∴A+B＞

π

2

，
∴

π

2

＞A＞

π

2

-B＞0，
∴tanA＞tan（

π

2

-B）＞0，
即tanA＞

1

tanB

＞0，同理tanB＞

1

tanA

＞0；
∴

1

tanB

-tanA＜0，tanB-

1

tanA

＞0，
∴复数z=(

1

tanB

-tanA)+(tanB-

1

tanA

)i对应的点位于复平面的第二象限．
故答案为：二．

点评：本题考查了复数的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．