Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，tanA=

1

4

，tanB=

3

5

，
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC中最长的边为

17

，求最短边的长．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正切函数

专题：解三角形

分析：（1）利用tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

即可得出．
（2）由0＜tanA=

1

4

＜tanB=

3

5

，可得A＜B，a为最小边．c为最大边．利用

sinA= 1 4 cosA sin2A+cos2A=1

，解得sinA．利用正弦定理可得：

a

sinA

=

c

sinC

，即可得出a．

解答： 解：（1）tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

1 4 + 3 5

1- 1 4 × 3 5

=-1，
∵C∈（0，π），
∴C=

3π

4

．
（2）∵0＜tanA=

1

4

＜tanB=

3

5

，
∴A＜B，
∴A为最小角，a为最小边．
c为最大边．
∵

sinA= 1 4 cosA sin2A+cos2A=1

，解得sinA=

1

17

．
由正弦定理可得：

a

sinA

=

c

sinC

，
∴a=

csinA

sinC

=

17 × 1 17

sin 3π 4

=

2

．

点评：本题考查了正弦定理、两角和差的正切公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．