Question

已知数列{a_n}的通项为a_n=

3n

3n+2

．
（1）若S_n是数列{

1

an

}的前n项和，试求S_n；
（2）若存在满足m+n=2s的正整数m，s，n，使a_m-1，a_s-1，a_n-1成等比数列，求证：m=n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

1

an

=1+

2

3n

，由此利用分组求和法和等比数列的性质能求出S_n．
（2）由已知条件利用等比数列的性质得(

3n

3n+2

-1)•(

3m

3m+2

-1)=（

3s

3s+2

-1）²．从而3^m+3ⁿ=2•3^s，由此利用均值不等式能证明m=n．

解答： （1）解：∵数列{a_n}的通项为a_n=

3n

3n+2

，
∴

1

an

=1+

2

3n

，
∴S_n=n+2（

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

）
=n+2×

1 3 ×(1- 1 3n )

1- 1 3

=n+1-

1

3n

．
（2）证明：∵m+n=2s，（a_m-1）（a_n-1）=（a_s-1）²，
a_n=

3n

3n+2

．
∴(

3n

3n+2

-1)•(

3m

3m+2

-1)=（

3s

3s+2

-1）²．
化简得：3^m+3ⁿ=2•3^s，
∵3m+3n≥2•

3m+n

=2•3s，当且仅当m=n时等号成立．
∴m=n．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查两数相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和均值不等式的合理运用．