Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，SA=a且
SA⊥底面ABCD
（1）证明AB⊥侧面SAD；
（2）求四棱锥S-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由线面垂直得SA⊥AB，由正方形性质，得AD⊥AB，由此能证明AB⊥面SAD．
（2）由SA⊥底面ABCD，且SA=a，S_底=a²，能求出四棱锥S-ABCD的体积．

解答： （本小题满分12分）
（1）证明：∵SA⊥面ABCD，∴SA⊥AB，…（2分）
∵四边形ABCD为正方形，∴AD⊥AB，…（4分）
∵SA交AD于点A，…（5分）
∴AB⊥面SAD．…（6分）
（2）解：∵SA⊥底面ABCD，且SA=a，S_底=a²，
∴V_S-ABCD=

1

3

S_底•SA=

1

3

a²•a=

1

3

a³，…（11分）
∴四棱锥S-ABCD的体积是

1

3

a³．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．