Question

已知f（x）=x³+ax²的图象为曲线C，M，N是曲线C上的不同点，曲线C在M，N处的切线斜率均为k．
（1）若a=3，函数g（x）=

f(x)

x

的图象在点x₁，x₂处的切线互相垂直，求|x₁-x₂|的最小值；
（2）若MN的方程为x+y+1=0，求k的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意求出g（x）的解析式，求出其导函数，结合g（x）的图象在点x₁，x₂处的切线互相垂直把x₂用x₁表示，代入|x₁-x₂|后利用基本不等式求最值；
（2）设M（m，m³+am²），N（n，n³+an²）（m≠n），求出原函数的导函数，由曲线C在M，N处的切线斜率均为k得到3m²+2am=3n²+2an，进一步得到m+n=-

2

3

a，再由M，N在x+y+1=0上，可得m³+am²+m+1=0，n³+an²+n+1=0，即（m+n）[（m+n）²-3mn]+a[（m+n）²-2mn]+m+n+2=0，联立m+n=-

2

3

a求得a的值，进一步得到m³-3m²+m+1=0，由此求得m的值，同理求得n的值，说明m，n均是方程x²-2x-1=0的根．由k=f'（m）求得k值．

解答： 解：（1）a=3时，f（x）=x³+3x²，g（x）=

f(x)

x

=x²+3x，
∴g'（x）=2x+3，
∵g（x）的图象在点x₁，x₂处的切线互相垂直，∴（2x₁+3）（2x₂+3）=-1，则x2=-

1

4

•

1

x1+ 3 2

-

3

2

，
∴|x1-x2|=|x1+

3

2

+

1

4

•

1

x1+ 3 2

|=|x1+

3

2

|+

1

4

•

1

|x1+ 3 2 |

≥1，当且仅当x₁=-2，x₂=-1或x₁=-1，x₂=-2时取最小值1；
（2）设M（m，m³+am²），N（n，n³+an²）（m≠n），f'（x）=3x²+2ax，
∵3m²+2am=3n²+2an，
∴m+n=-

2

3

a，
又∵M，N在x+y+1=0上，
∴m³+am²+m+1=0，n³+an²+n+1=0，
∴m³+n³+a（m²+n²）+m+n+2=0．
即（m+n）[（m+n）²-3mn]+a[（m+n）²-2mn]+m+n+2=0，
将m+n=-

2

3

a代入上式得2a³-9a+27=0，
即2a³-9a+27=（a+3）（2a²-6a+9）=0，解得a=-3．
∴m³-3m²+m+1=0，
则m³-3m²+m+1=（m-1）（m²-2m-1）=0，
解得m=1或m=1±

2

；
同理n=1或n=1±

2

．
∵m+n=-

2

3

a=2，且m≠n，
∴m，n均满足方程x²-2x-1=0．
故k=f'（m）=3m²-6m=3（m²-2m）=3．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，考查了数学转化思想方法，考查了方程思想的应用，是压轴题．