Question

已知正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，则异面直线EF与AD所成角的度数为

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：根据正四面体的性质，每条棱都相等，相对的棱互相垂直，可借助中位线，平移直线AD，得到异面直线EF与AD所成的角，再放入直角三角形中，即可求得．

解答： 解：取BC的中点G，连接EG，FG，
∵E，G分别为AB，BD的中点，
∴EG∥AD，FG∥BC，EG=

1

2

AD，FG=

1

2

BC
∴∠FEG为异面直线EF与AD所成的角
∵四面体ABCD为正四面体，
∴AD=BC，
∴EG=FG
过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为△BCD的重心，AO⊥BD
∵DO⊥BC，AO∩DO=O
∴BC⊥平面AOD
∵AD?平面AOD
∴BC⊥AD，
∵EG∥AD，FG∥BC
∴EG⊥FG
在Rt△EGF中，∵∠EGF=90°，且EG=FG
∴∠FEG=45°
故答案为：45°．

点评：本题主要考查了正四面体中线线位置关系，以及异面直线所成角的求法，综合考查了学生的识图能力，作图能力，以及空间想象力．