Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*），
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等比数列的通项公式,等比数列的前n项和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）依题意，易得

an+2-an+1

an+1-an

=2（n∈N^*），利用等比数列的定义可知数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+1-a_n=2ⁿ，利用累加法a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁可得数列{a_n}的通项公式．

解答： （Ⅰ）证明：∵a_n+2=3a_n+1-2a_n，
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∴

an+2-an+1

an+1-an

=2（n∈N^*）…5分
∵a₁=1，a₂=3，
∴数列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=2为首项，2为公比的等比数列…6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*）…8分
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=2ⁿ-1（n∈N^*）…12分

点评：本题考查数列的递推式的应用，考查等比关系的确定及等比数列前n项和的应用，属于中档题．