Question

空间四边形ABCD中，AD=2，BC=1，AD、BC成60°角．M、N分别是AB、CD中点，求线段MN的长．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：取BC中点P，连接PN，MP，可得NP=

1

2

，MP=1，∠MPN（或其补角）为AC与BD成的角，再利用余弦定理，可求MN．

解答： 解：取AC中点P，连接PN，MP
因为M，N分别为AB和CD的中点，所以PN和MP分别是△BCD和△ABC的中位线
所以NP

∥

.

1

2

AD，MP

∥

.

1

2

BC，
所以PN=1，MP=

1

2

，∴∠MPN（或其补角）为AC与BD成的角，
∵AD、BC成60°角，
∴∠MPN=60°或120°
根据余弦定理：MN²=MP²+NP²-2MP×NP×cos∠MPN
所以MN²=1+

1

4

-2×1×

1

2

×0.5=

3

4

或MN²=1+

1

4

+2×1×

1

2

×0.5=

7

4

，
所以MN=

3

2

或

7

2

．

点评：本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确作出异面直线所成的角是关键．