Question

在△OAB中，

OA

=

a

，

OB

=

b

，若

a

•

b

=|

a

-

b

|=2：
（1）求|

a

|²+|

b

|²的值；
（2）若（

a

| a |

+

b

| b |

）（

a

-

b

）=0，

AB

=3

AM

，

BA

=2

BN

，求

OM

•

ON

的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（1）运用向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到；
（2）通过条件（

a

| a |

+

b

| b |

）•（

a

-

b

）=0，化简整理可得|

a

|=|

b

|，由（1）的结论即有△OAB为正三角形，再由向量垂直的条件，即可计算得到所求值．

解答： 解：（1）由于|

a

-

b

|=2，则|

a

-

b

|²=（

a

-

b

）²=

a

2+

b

2-2

a

•

b

=4，
又

a

•

b

=2，
则有|

a

|²+|

b

|²=

a

2+

b

2=8；
（2）由（

a

| a |

+

b

| b |

）•（

a

-

b

）=0，
则

a 2

| a |

+

a • b

| b |

-

a • b

| a |

-

b 2

| b |

=|

a

|-|

b

|+

2

| b |

-

2

| a |

=（|

a

|-|

b

|）（1+

2

| a |•| b |

）=0，
则有|

a

|=|

b

|，由（1）的结论得|

a

|=|

b

|=2，
又|

AB

|=|

a

-

b

|=2，所以△OAB为正三角形，
则

OM

•

ON

=（

ON

+

NM

）•

ON

，
因为N为AB的中点，ON⊥AB，
从而

ON

•

NM

=0，|

ON

|=

3

2

×2=

3

，
则有

OM

•

ON

=（

ON

）²=3．

点评：本题考查向量的数量积的性质，考查正三角形的性质，考查运算能力，运用向量垂直的条件是解题的关键．