Question

如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，
AB∥DE，EF∥DG，且AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=1．
（1）求证：BF∥平面ACGD；
（2）求二面角D-CG-F的余弦值；
（3）求六面体ABCDEFG的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：几何法：
（1）取DG的中点M，连接AM、FM，由已知得四边形DEFM为平行四边形，从而得到四边形ABFM是平行四边形，由此能证明BF∥平面ACGD．
（2）由线面垂直DE⊥AD，又DE⊥DG，从而DE⊥平面ADGC，进而MF⊥平面ADGC．在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，则∠MNF是所求二面角的平面角，由此能求出二面角D-CG-F的余弦值．
（3）由题意六面体ABCDEFG可分割成直三棱柱ADM-BEF和斜三棱柱ABC-MFG，由此能求出六面体ABCDEFG的体积．
向量法：
（1）由AD，DE，DG两两垂直，以D为原点，建立空间直角坐标系，由向量量求出

BF

=

CG

，从而BF∥CG，由此能证明BF∥平面ACGD．
（2）求出平面BCGF的法向量和平面ACGD的法向量，由此利用向量法能注出二面角D-CG-F的余弦值．
（3）取DG的中点M，连接AM、FM，由题意可得六面体ABCDEFG可分割成直三棱柱ADM-BEF和斜三棱柱ABC-MFG，由此能求出六面体ABCDEFG的体积．

解答： （本小题满分14分）
几何法：
（1）证明：如图，取DG的中点M，连接AM、FM．
因为DM=

1

2

DG=EF，且EF∥DM，
所以四边形DEFM为平行四边形．（1分）
所以MF∥DE，且MF=DE．（2分）
又AB∥DE，且AB=DE，所以MF∥AB，且MF=AB．（3分）
所以四边形ABFM是平行四边形，故BF∥AM．（4分）
又AM?平面ACGD，BF?平面ACGD，
所以BF∥平面ACGD．（5分）
（2）解：因为AD⊥平面DEFG，DE?平面DEFG，
所以DE⊥AD，又DE⊥DG，且AD∩DG=D，
所以DE⊥平面ADGC．
因为MF∥DE，所以MF⊥平面ADGC．（6分）
在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，
如图，则∠MNF是所求二面角的平面角．（7分）
因为在四边形ADGC中，
AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM=MG=1，
所以CD=CG=

5

，所以MN=

2 5

5

，（8分）
在Rt△MNF中，MF=2，MN=

2 5

5

，NF=

M2F+M F

=

2 30

5

，（9分）
所以cos∠MNF=

MN

FN

=

6

6

，即二面角D-CG-F的余弦值为

6

6

．（10分）
（3）解：由题意及（1）与（2）可得：
六面体ABCDEFG可分割成直三棱柱ADM-BEF和斜三棱柱ABC-MFG，（12分）
所以V_{六面体ABCDEFG}=V_{三棱柱ADM-BEF}+V_{三棱柱ABC-MFG} （13分）
=2×

1

2

×2×1+2×

1

2

×2×1=4．（14分）
向量法：
（1）证明：由已知可得AD，DE，DG两两垂直，
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），
F（2，1，0），G（0，2，0）．

BF

=(0，1，-2)，

CG

=（0，1，-2），
所以

BF

=

CG

，所以BF∥CG．（5分）
又CG?平面ACGD，BF?平面ACGD，所以BF∥平面ACGD．   （6分）
（2）解：

FG

=(0，2，0)，
设平面BCGF的法向量为

n1

=（x，y，z），
则由

n1 • CG =0 n1 • FG =0

，得

y-2z=0 -2x+y=0

，解得

x=z y=2z

，令z=1，得

n1

=（1，2，1），（7分）
显然平面ACGD的法向量

n2

=（1，0，0），（8分）
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

6

6

，（9分）
故二面角D-CG-F的余弦值为

6

6

，（10分）
（3）解：取DG的中点M，连接AM、FM，
由题意可得六面体ABCDEFG可分割成直三棱柱ADM-BEF和斜三棱柱ABC-MFG，
所以V_{六面体ABCDEFG}=V_{三棱柱ADM-BEF}+V_{三棱柱ABC-MFG} （13分）
=2×

1

2

×2×1+2×

1

2

×2×1=4．（14分）

点评：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查六面体的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．