Question

设函数f（x）=sinωxcosωx-

3

cos²ωx（其中0＜ω＜3），若f（x）关于点（

π

6

，-

3

2

）对称．
（1）若f（A）=

1- 3

2

，求锐角A；
（2）将y=f（x）的图象向左平移

π

4

ω个单位，得到y=g（x）的图象，当x∈[0，

π

4

]时，求g（x）的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先通过三角函数关系式的恒等变换，变形成正弦型函数，利用函数图象的对称问题求出函数的关系式，进一步求出A的值．
（2）利用函数的平移变换求出g（x）的解析式，再利用定义域的范围求出函数的值域．

解答： 解：（1）函数f（x）=sinωxcosωx-

3

cos²ωx
=

1

2

sin2ωx-

3 (cos2ωx+1)

2

=sin(2ωx-

π

3

)-

3

2

，
由于函数f（x）关于点（

π

6

，-

3

2

）对称．
则：2ω

π

6

-

π

3

=kπ，
解得：ω=3k+1，
由于0＜ω＜3，
所以：k=0，
解得：ω=1．
所以：f（x）=sin(2x-

π

3

)-

3

2

，
又由于：f（A）=

1- 3

2

，
所以：sin(2A-

π

3

)-

3

2

=

1- 3

2

，
解得：锐角A=

π

4

．
（2）将y=f（x）的图象向左平移

π

4

个单位，得到：
g（x）=sin[2(x+

π

4

)-

π

3

]-

3

2

=sin(2x+

π

6

)-

3

2

，
由于：当x∈[0，

π

4

]时，
所以：

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
则：

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，

1- 3

2

≤g(x)≤1-

3

2

，
所以：g（x）的取值范围为：[

1- 3

2

，1-

3

2

]．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的对称问题，三角函数的求值，函数图象的平移问题，利用三角函数的定义域求三角函数的值域．属于基础题型．