Question

设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=e+1，若x₀是方程f（x）-f′（x）=e的一个解，则x₀可能存在的区间是（　　）

• A、（0，1）
• B、（e^-1，1）
• C、（0，e^-1）
• D、（1，e）

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,导数的运算

专题：函数的性质及应用

分析：由题意知：f（x）-lnx为常数，令f（x）-lnx=k（常数），则f（x）=lnx+k．由f[f（x）-lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，
所以f（x）=lnx+e，再用零点存在定理验证，

解答： 解：由题意知：f（x）-lnx为常数，令f（x）-lnx=k（常数），则f（x）=lnx+k．
由f[f（x）-lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，
所以f（x）=lnx+e，
f′（x）=

1

x

，x＞0．
∴f（x）-f′（x）=lnx-

1

x

+e，
令g（x）=lnx-

1

x

+-e=lnx-

1

x

，x∈（0，+∞）
可判断：g（x）=lnx-

1

x

，x∈（0，+∞）上单调递增，
g（1）=-1，g（e）=1-

1

e

＞0，
∴x₀∈（1，e），g（x₀）=0，
∴x₀是方程f（x）-f′（x）=e的一个解，则x₀可能存在的区间是（1，e）
故选：D．

点评：本题考查了函数的单调性，零点的判断，构造思想，属于中档题．