Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=-2n²+4n，数列{b_n}为单调递增的等比数列，b₁b₂b₃=27，a₁+b₁=a₃+b₃；
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_2n+b_2n，求数列{c_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）在S_n=-2n²+4n中取n=n-1得Sn-1=-2(n-1)2+4(n-1)（n≥2），两式相减得数列{a_n}的通项公式；求出a₃=-6，结合b₁b₂b₃=27求得b₂=3，再结合
a₁+b₁=a₃+b₃求得数列{b_n}的公比，则通项公式可求；
（2）把数列{a_n}、{b_n}的通项公式代入c_n=a_2n+b_2n，分组后利用等差数列和等比数列的前n项和得答案．

解答： 解：（1）由S_n=-2n²+4n，得Sn-1=-2(n-1)2+4(n-1)（n≥2），
两式相减得a_n=-4n+6，
当n=1时，a₁=2适合上式，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=-4n+6；
又a₃=-6，b₁b₂b₃=27，则b₂=3．
设等比数列{b_n}的公比为q，则由a₁+b₁=a₃+b₃，得b2q-

b2

q

=8，即3q²-8q-3=0，
解得：q=3或q=-

1

3

（舍），即bn=3n-1．
则数列{b_n}的通项公式为bn=3n-1；
（2）∵c_n=a_2n+b_2n=-8n+6+3^2n-1，
则T_n=c₁+c₂+…+c_n
=-8(1+2+…+n)+6n+

3(1-9n)

1-9

=-4n2+2n+

3

8

(9n-1)．

点评：本题是等差数列和等比数列的综合题，考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．