Question

11．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x+a
（1）当a=-$\frac{3}{2}$时，求函数y=f（x）图象上在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）若方程f（x）=0有三个不等实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，运用导数的几何意义，可得切线的斜率，求得切点坐标，运用点斜式方程可得切线的方程；
（2）求得f（x）的导数，可得单调区间和极值，由题意可得f（x）的极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）当a=-$\frac{3}{2}$时，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x-$\frac{3}{2}$，
导数f′（x）=x²-3x+2，
可得在点（3，f（3））处的切线斜率为k=9-9+2=2，
切点为（3，0），
可得函数y=f（x）图象上在点（3，f（3））处的切线方程为y=2（x-3），
即为2x-y-6=0；
（2）函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x+a的导数为f′（x）=x²-3x+2，
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＞2或x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增．
可得f（x）在x=1处取得极大值，且为$\frac{5}{6}$+a；
f（x）在x=2处取得极小值，且为$\frac{2}{3}$+a．
由方程f（x）=0有三个不等实根，
可得$\frac{5}{6}$+a＞0，且$\frac{2}{3}$+a＜0，
解得-$\frac{5}{6}$＜a＜-$\frac{2}{3}$．
则a的取值范围是（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查方程和函数的转化思想，注意运用函数的极值异号是解决问题的关键，考查运算能力，属于中档题．