Question

△ABC中A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin（B+C）+2sinA•cosB=0
求：（1）角B的大小；    
   （2）若b=

13

，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由三角形内角和定理和诱导公式，化简已知等式得到sinA（1+2cosB）=0，结合sinA＞0，可得cosB=-

1

2

，从而得到B=

2π

3

．△ABC的面积．
（2）根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，结合题中数据算出ac=3，再由正弦定理的面积公式即可算出△ABC的面积．

解答：解：（1）∵B+C=π-A，∴sin（B+C）=sinA
由此可得sinA+2sinA•cosB=0，即sinA（1+2cosB）=0
∵sinA＞0，∴1+2cosB=0，可得cosB=-

1

2

∵B∈（0，π），∴B=

2π

3

．
（2）∵b=

13

，a+c=4，
∴根据余弦定理，得b²=a²+c²-2accos120°，
可得13=（a+c）²-ac=16-ac，解得ac=3
因此，△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

1

2

×3×sin120°=

3 3

4

．

点评：本题给出三角函数等式，求解三角形ABC并求它的面积．着重考查了特殊角的三角函数值、正余弦定理解三角形和三角形面积公式等知识，属于中档题．