Question

16．若实数x、y满足sinx-$\sqrt{3}$cosx≤y≤0，-$\frac{2π}{3}$≤x≤$\frac{π}{3}$，则目标函数z=x+y的最小值是（　　）

• A． -$\frac{2π}{3}$
• B． -2
• C． $-\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• D． -$\frac{π}{3}$-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，
由图象可知当直线y=-x+z和曲线y=sinx-$\sqrt{3}$cosx相切时，
直线y=-x+z的截距最小，此时z最小．
由f′（x）=cosx+$\sqrt{3}$sinx=-1，
即2sin（x+$\frac{π}{6}$）=-1，
即sin（x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
∵-$\frac{2π}{3}$≤x≤$\frac{π}{3}$，
∴-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$，
即x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，
x=-$\frac{π}{3}$，
此时y=sin（-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}×$cos（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\sqrt{3}$，
即切点坐标为（-$\frac{π}{3}$，$-\sqrt{3}$），
代入目标函数得z=-$\frac{π}{3}$-$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据三角函数的图象，结合直线和曲线的相切问题是解决本题的关键．