Question

11．若函数f（x）=ax²-3x+（a+1）＞x²-x-a+1对任意的x∈（0，+∞）都成立，求a的范围．

Answer 1

分析 运用参数分离，可得a＞$\frac{{x}^{2}+2x}{{x}^{2}+2}$对任意的x∈（0，+∞）都成立，设g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x}{{x}^{2}+2}$，运用导数，通过单调性，求得最大值，即可得到a的范围．

解答 解：ax²-3x+（a+1）＞x²-x-a+1对任意的x∈（0，+∞）都成立，
即有a＞$\frac{{x}^{2}+2x}{{x}^{2}+2}$对任意的x∈（0，+∞）都成立，
设g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x}{{x}^{2}+2}$，g′（x）=$\frac{-2（{x}^{2}-2x-2）}{（{x}^{2}+2）^{2}}$，
由0＜x＜1+$\sqrt{3}$时，g′（x）＞0，g（x）递增，
由x＞1+$\sqrt{3}$时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有x=1+$\sqrt{3}$时，g（x）取得最大值，且为$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
则有a＞$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
即a的范围为（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查不等式恒成立问题，注意转化为求函数的最值问题，运用导数判断单调性是解题的关键．