Question

20．在公比为$\sqrt{2}$的等比数列{a_n}中，若$sin（{{a_7}{a_8}}）=\frac{3}{5}$，则cos（a₂a₁₅）的值是（　　）

• A． $-\frac{7}{25}$
• B． $\frac{7}{25}$
• C． $-\frac{4}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 根据题意和等比数列的通项公式化简a₂a₁₅、a₇a₈，并确定二者二倍的关系，结合条件和二倍角的余弦公式求出cos（a₂a₁₅）的值．

解答 解：由题意知，等比数列{a_n}的公比是$\sqrt{2}$，
∴a₇a₈=（${a}_{1}{q}^{6}$）（${a}_{1}{q}^{7}$）=$64\sqrt{2}{{a}_{1}}^{2}$，
a₂a₁₅=（a₁q）（${a}_{1}{q}^{14}$）=$128\sqrt{2}{{a}_{1}}^{2}$，
∴a₂a₁₅=2（a₇a₈），
∵$sin（{a}_{7}{a}_{8}）=\frac{3}{5}$，
∴cos（a₂a₁₅）=1-2sin²（a₇a₈）=1-2×$\frac{9}{25}$=$\frac{7}{25}$，
故选：B．

点评 本题考查等比数列的通项公式，以及二倍角的余弦公式的灵活应用，属于中档题．