Question

10．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，且|AB|=$\sqrt{7}$．
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（Ⅱ）斜率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的直线l与椭圆交于P、Q两点，点P在第一象限，求证A、P、B、Q四点共圆．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用离心率公式和两点的距离公式，结合椭圆的a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线PQ的方程为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+m$，联立椭圆方程，运用韦达定理，设过点$A（{2，0}），P（{{x_1}，{y_1}}），B（{0，\sqrt{3}}）$三点圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，证明Q也在此圆上．

解答 解：（Ⅰ）依题意知，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$|{AB}|=\sqrt{7}$，
即a²+b²=7，又a²-b²=c²，解得a=2，$b=\sqrt{3}$，
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）设直线PQ的方程为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+m$，
P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在椭圆上，
将直线l的方程代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
整理得$3{x^2}+2\sqrt{3}mx+2{m^2}-6=0$，
则△=12m²-12（2m²-6）＞0，${x_1}+{x_2}=-\frac{{2\sqrt{3}m}}{3}，\;\;{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-6}}{3}$…①，
又${y_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_1}+m$，${y_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_2}+m$，∴${y_1}+{y_2}=m，\;\;{y_1}{y_2}=\frac{{{m^2}-3}}{2}$…②，
设过点$A（{2，0}），P（{{x_1}，{y_1}}），B（{0，\sqrt{3}}）$三点圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
于是2D+F+4=0，${x_1}^2+{y_1}^2+D{x_1}+E{y_1}+{F_1}=0$，$\sqrt{3}E+F+3=0$，
∴$D=\frac{{\sqrt{3}E-1}}{2}$，$F=-\sqrt{3}E-3$…③
令${x_2}^2+{y_2}^2+D{x_2}+E{y_2}+F=t$，
∵x₁²+y₁²+Dx₁+Ey₁+F₁=0，
∴$t=（{{x_1}^2+{y_1}^2+D{x_1}+E{y_1}+F}）+（{{x_2}^2+{y_2}^2+D{x_2}+E{y_2}+F}）$
=${（{{x_1}+{x_2}}）^2}-2{x_1}{x_2}+{（{{y_1}+{y_2}}）^2}-2{y_1}{y_2}+D（{{x_1}+{x_2}}）+E（{{y_1}+{y_2}}）+2F$，
将①②③式代入此式，并化简，得$t=1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}m-2\sqrt{3}E$…④，
又$t=（{{x_2}^2+{y_2}^2+D{x_2}+E{y_2}+F}）-（{{x_1}^2+{y_1}^2+D{x_1}+E{y_1}+F}）$
=（x₂+x₁）（x₂-x₁）+（y₂+y₁）（y₂-y₁）+D（x₂-x₁）+E（y₂-y₁），
将①②③式，及${y_2}-{y_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}（{{x_2}-{x_1}}）$代入此式，
并化简，得$t=（{-\frac{{\sqrt{3}}}{6}m+\sqrt{3}E-\frac{1}{2}}）（{{x_2}-{x_1}}）$…⑤，依题意，x₁≠x₂，
由④⑤得，$\frac{2t}{{{x_2}-{x_1}}}+t=0$，∴t=0，或x₂-x₁=-2；
若x₂-x₁=-2，则${（{{x_2}+{x_1}}）^2}-4{x_1}{x_1}=8-\frac{4}{3}m=4$，得m²=3，
∴$m=-\sqrt{3}$或$m=\sqrt{3}$，
此时直线l经过点$（{2，0}），（{0，-\sqrt{3}}）$或$（{-2，0}），（{0，\sqrt{3}}）$，
这与直线l过椭圆在第一象限上的一点P矛盾，
所以t=0，故${x_2}^2+{y_2}^2+D{x_2}+E{y_2}+F=0$，
即点Q在过点A，P，B三点的圆上，所以A，P，B，Q四点共圆．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查四点共圆的证法，属于中档题．