Question

1．（1）求函数f（x）=tan（$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}$）的定义域；
（2）已知tanα=3，求值：$\frac{1}{2sinαcosα+si{n}^{2}α}$．

Answer 1

分析 （1）根据$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求出x的范围，即可确定出f（x）定义域；
（2）原式分子变形为sin²α+cos²α=1，分子分母除以cos²α，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．

解答 解：（1）由$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x≠2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
则函数的定义域为{x|x≠2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z}；
（2）∵tanα=3，
∴原式=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}{2sinαcosα+si{n}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+1}{2tanα+ta{n}^{2}α}$=$\frac{10}{15}$=$\frac{2}{3}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．