Question

5．奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3^x+$\frac{1}{2}$，则f（log₃54）=（　　）

• A． -2
• B． -$\frac{7}{6}$
• C． $\frac{7}{6}$
• D． 2

Answer 1

分析 由f（x+2）=-f（x）得f（x+4）=f（x），可得到函数f（x）的周期是4，利用对数的运算性质、函数的周期性和奇偶性，将f（log₃54）转化为-$f（{log}_{3}\frac{3}{2}）$，代入函数解析式求出$f（{log}_{3}\frac{3}{2}）$的值，即可得到f（log₃54）的值．

解答 解：∵f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的奇函数，
又∵$f（{log}_{3}54）=f（lo{g}_{3}^{81×\frac{2}{3}}）=f（4+{log}_{3}\frac{2}{3}）=f（{log}_{3}\frac{2}{3}）=f（-{log}_{3}\frac{3}{2}）=-f（{log}_{3}\frac{3}{2}）$，
∵$0＜{log_3}\frac{3}{2}＜1$，∴$f（{{{log}_3}\frac{3}{2}}）={3^{{{log}_3}\frac{3}{2}}}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$，∴f（log₃54）=-2，
故选：A．

点评 本题考查函数的周期性和奇偶性的综合应用，以及对数的运算性质，考查转化思想，属于中档题．