Question

15．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$
（1）求证：函数y=f（x）是奇函数； 
（2）若a＞b＞1，试比较f（a）和f（b）的大小．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义即可证明函数y=f（x）是奇函数； 
（2）利用作差法即可比较大小．

解答 证明：（1）函数$f（x）=x+\frac{1}{x}$的定义域为：x∈R，x≠0，关于原点对称，
又$f（-x）=-x+\frac{1}{-x}=-（x+\frac{1}{x}）=-f（x）$
故函数y=f（x）是奇函数．…（3分）
（2）f（a）-f（b）=a+$\frac{1}{a}$-b-$\frac{1}{b}$=（a-b）+（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{b}$）=a-b+$\frac{b-a}{ab}$=（a-b）（1-$\frac{1}{ab}$）=（a-b）$•\frac{ab-1}{ab}$，
∵a＞b＞1，∴a-b＞0，ab＞1，
∴f（a）-f（b）＞0，
∴f（a）＞f（b）．…（8分）

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数值的大小比较，利用作差法是解决本题的关键．