Question

7．若方程$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a=0恰有唯一解，则实数a的取值范围为（0，+∞）．

Answer 1

分析 由题意设f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a并求出f′（x），求出△的式子并根据△的符号进行分类讨论，由导数的符号判断出函数的单调性，求出函数的极值，列出f（x）存在唯一的零点的等价条件，求出a的范围即可．

解答 解：由题意设f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a，∴f′（x）=x²-2x+a，
△=4-4a=4（1-a），
①当a≥1时，△≤0，f′（x）≥0，
∴f（x）在R上是增函数，且f（0）=-a＜0，
∴f（x）存在唯一的零点，则方程$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a=0恰有唯一解；
②当a＜1时，△＞0，由x²-2x+a=0得，${x}_{1}=1-\sqrt{1-a}$、${x}_{2}=1+\sqrt{1-a}$，
当x＞$1+\sqrt{1-a}$或x＜$1-\sqrt{1-a}$时，f′（x）＞0；
当$1-\sqrt{1-a}$＜x＜$1+\sqrt{1-a}$时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（-∞，$1-\sqrt{1-a}$）、（$1+\sqrt{1-a}$，+∞）上单调递增，
在（$1-\sqrt{1-a}$，$1+\sqrt{1-a}$）上单调递减，
∴当x=$1-\sqrt{1-a}$时，f（x）取极大值f（$1-\sqrt{1-a}$）=$\frac{1}{3}（1-\sqrt{1-a}）^{3}-（1-\sqrt{1-a}）^{2}+a（1-\sqrt{1-a}）$-a
=$-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{1-a}-\frac{2}{3}a\sqrt{1-a}$=$\frac{2}{3}[（1-a）\sqrt{1-a}-1]$，
当x=$1+\sqrt{1-a}$时，f（x）取极小值f（$1+\sqrt{1-a}$）=$\frac{1}{3}{（1+\sqrt{1-a}）}^{3}-{（1+\sqrt{1-a}）}^{2}+a（1+\sqrt{1-a}）$-a
=$-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{1-a}+\frac{2}{3}a\sqrt{1-a}$=$-\frac{2}{3}[（1-a）\sqrt{1-a}+1]$，
∵f（x）存在唯一的零点，∴$\frac{2}{3}[（1-a）\sqrt{1-a}-1]＜0$或$-\frac{2}{3}[（1-a）\sqrt{1-a}+1]＞0$，
解得0＜a＜1，
综上所述，实数a的取值范围是（0，+∞），

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，利用函数的导数研究函数的零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，以及化简计算能力，属于中档题．