Question

16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosC+ccosB=2acosB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=$\sqrt{3}$，求a²+c²的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理及两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin（B+C）=2sinAcosB=sinA，可求cosB=$\frac{1}{2}$，结合B范围即可得解；
（2）由余弦定理可得：3=a²+c²-ac，由不等式ac≤$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2}$，（当且仅当a=c时取等号）即可解得a²+c²的最大值．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）由bcosC+ccosB=2acosB及正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
即有：sin（B+C）=2sinAcosB=sinA，
由于sinA≠0，两边同时除以sinA，可得2cosB=1，
所以，cosB=$\frac{1}{2}$，
可得：B=$\frac{π}{3}$…5分
（2）由余弦定理可得：3=a²+c²-ac，
∵ac≤$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2}$，（当且仅当a=c时取等号）
∴3=a²+c²-ac$≥{a}^{2}+{c}^{2}-\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2}=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2}$，
∴a²+c²≤6，
∴a²+c²的最大值为6…10分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，基本不等式的综合应用，属于基本知识的考查．