Question

1．已知椭圆C方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），M（x₀，y₀）是椭圆C上任意一点，F（c，0）是椭圆的右焦点．
（1）若椭圆的离心率为e，证明|MF|=a-ex₀；
（2）已知不过焦点F的直线l与圆x²+y²=b²相切于点Q，并与椭圆C交于A，B两点，且A，B两点都在y轴的右侧，若a=2，求△ABF的周长．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的第二定义，即可得出结论；
（2）证明|AQ|=ex₁，|BQ|=ex₂，即可求出△ABF的周长．

解答 （1）证明：∵M（x₀，y₀）是椭圆C上任意一点，椭圆的右准线方程为x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴$\frac{|MF|}{\frac{{a}^{2}}{c}-{x}_{0}}$=e
∴|MF|=a-ex₀；-----------------（6分）
（2）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（x₁＞0，x₂＞0），
连接OA，OQ，在△OAQ中，|AQ|²=x₁²+y₁²-b²，
∵y₁²=b²-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$x₁²，
∴|AQ|²=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$x₁²=e²x₁²；
∴|AQ|=ex₁，
同理：|BQ|=ex₂，------------------（10分）
∴|AB|=|AQ|+|BQ|=e（x₁+x₂）
∴|AB|+|AF|+|BF|=e（x₁+x₂）+a-ex₁+a-ex₂=2a
∴a=2时，△ABF的周长为4．------------------（13分）

点评 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．