Question

16．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足4$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=1，求|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最大值$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 可考虑去求$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}$的最大值，并求出$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}=1+3\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，可设$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=k$，从而需求k的最大值．这样便考虑k＞0的情况：要建立关于k的等式，设$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为θ，从而${\overrightarrow{a}}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}co{s}^{2}θ={k}^{2}$，${\overrightarrow{b}}^{2}=\frac{{k}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}co{s}^{2}θ}$，从而会得到$1=4{\overrightarrow{a}}^{2}+\frac{{k}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}co{s}^{2}θ}+k≥（\frac{4}{cosθ}+1）k$，从而$k≤\frac{1}{\frac{4}{cosθ}+1}$，容易说明cosθ=1时k取到最大值$\frac{1}{5}$，这便可得到$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}$的最大值，从而得出$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$的最大值．

解答 解：根据条件：
$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}=4{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=1$+3\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$；
现求$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的最大值，设$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=k$，设$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夹角为θ，则：
${\overrightarrow{a}}^{2}•{\overrightarrow{b}}^{2}•co{s}^{2}θ={k}^{2}$；
∵求k的最大值，∴先看k＞0的情况：
∴${\overrightarrow{b}}^{2}=\frac{{k}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}co{s}^{2}θ}$，代入$4{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=1$；
∴$1=4{\overrightarrow{a}}^{2}+\frac{{k}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}co{s}^{2}θ}+k≥\frac{4k}{cosθ}+k$=$（\frac{4}{cosθ}+1）k$；
∴$k≤\frac{1}{\frac{4}{cosθ}+1}$；
∵cosθ＞0；
∴cosθ=1时，$\frac{1}{\frac{4}{cosθ}+1}$取最大值$\frac{1}{5}$；
∴k取最大值$\frac{1}{5}$；
∴$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}$的最大值为1$+\frac{3}{5}$=$\frac{8}{5}$；
∴$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$的最大值为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

点评 考查向量数量积的计算公式，注意$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）^{2}≠{\overrightarrow{a}}^{2}•{\overrightarrow{b}}^{2}$，结合条件应想到求$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}$，基本不等式：$a+b≥2\sqrt{ab}$，a，b＞0的运用，知道cosθ的最大值为1，注意正确开平方．