Question

10．已知函数f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x，g（x）=$\frac{1}{2}f（x+\frac{5π}{12}）+ax+b$，其中a，b为非零实常数．
（1）如何由f（x）的图象得到函数y=2sin2x的图象？
（2）若f（α）=1-$\sqrt{3}$，$α∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}]$，求α的值．
（3）若x∈R，讨论g（x）的奇偶性（只写结论，不用证明）．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简已知解析式可得f（x）=1+2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．
（2）由已知可得sin（2$α+\frac{π}{6}$）的值，由角α的范围，可求2$α+\frac{π}{6}$的范围，从而可求α的值．
（3）由已知可求$g（x）=ax-sin2x+b+\frac{1}{2}$，分b=$-\frac{1}{2}$，或$≠-\frac{1}{2}$两种情况由奇偶性的定义即可讨论g（x）的奇偶性．

解答 （本题满分12分）
解：（1）∵由已知$f（x）=2co{s^2}x+\sqrt{3}sin2x=1+2sin（2x+\frac{π}{6}）$，….1分
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1$\stackrel{向右平移\frac{π}{12}个单位}{→}$f（x）=2sin2x+1$\stackrel{向下平移1个单位}{→}$f（x）=2sin2x．…3分
（2）由$1+2sin（{2α+\frac{π}{6}}）=1-\sqrt{3}得sin（{2α+\frac{π}{6}}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$….4分
∵$-\frac{π}{3}≤α≤\frac{π}{3}，-\frac{π}{2}≤2α+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$…5分
∴$2α+\frac{π}{6}=-\frac{π}{3}，α=-\frac{π}{4}$…7分
（3）由已知，得$g（x）=ax-sin2x+b+\frac{1}{2}$，…10分
$当b=-\frac{1}{2}时，对于任意的x∈R，总有g（-x）=-ax-sin（-2x）=-（ax-sin2x）=-g（x）$
∴g（x）是奇函数….11分
$当b≠-\frac{1}{2}时$，
∵g（-x）≠-g（x）且g（-x）≠g（x）
∴g（x）既不是奇函数，又不是偶函数．….12分
（没有证明不扣分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．