Question

2．已知函数f（x）=log₄[（4^x+1）4^kx]（k∈R）为偶函数．
（1）求k的值；
（2）设g（x）=log₄（a•2^x+1），若函数f（x）与g（x）图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由偶函数可得f（-x）=f（x），代入已知式子化简可得；
（2）问题转化为$a=\frac{{{t^2}-t+1}}{t^2}={（\frac{1}{t}）^2}-\frac{1}{t}+1$在t＞0范围内有唯一解，结合二次函数可得．

解答 解：（1）由题意可得函数f（x）定义域为R，
由偶函数可得f（-x）=f（x），
∴log₄[（4^-x+1）4^-kx]=log₄[（4^x+1）4^kx]，
∴（4^-x+1）4^-kx=（4^x+1）4^kx，
∴$\frac{\frac{1}{{4}^{x}}+1}{{4}^{x}+1}$=4^2kx=4^-x，
∴k=-$\frac{1}{2}$；
（2）由题意可得$\left\{{\begin{array}{l}{a•{2^x}+1＞0}\\{（{4^x}+1）{4^{kx}}＞0}\\{{{log}_4}[（{4^x}+1）{4^{kx}}]={{log}_4}（a•{2^x}+1）}\end{array}}\right.⇒（{4^x}+1）{4^{kx}}=（a•{2^x}+1）$，
令t=2^x（t＞0），则$a=\frac{{{t^2}-t+1}}{t^2}={（\frac{1}{t}）^2}-\frac{1}{t}+1$在t＞0范围内有唯一解…（8分）
可得得a≥1或a=$\frac{3}{4}$

点评 本题考查函数的奇偶性，涉及对数函数的运算和性质，属基础题．