Question

7．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为60°，$\overrightarrow c=\overrightarrow a-k\overrightarrow b（k∈R）$，则$\frac{|\overrightarrow a|}{|\overrightarrow c|}$的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据条件求$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}=\frac{1}{{k}^{2}（\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}）^{2}-k（\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}）+1}$，从而需求$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}$的最大值：k=0时，显然$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}=1$；k≠0时，${k}^{2}（\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}）^{2}-k（\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}）+1$可以看成关于$\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$的二次函数，这样即可求其最小值为$\frac{3}{4}$，从而$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}$取到最大值$\frac{4}{3}$，从而求出$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值．

解答 解：${\overrightarrow{c}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2k\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{k}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}-k|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+{k}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}$；
∴$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}=\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}-k|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+{k}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\frac{1}{{k}^{2}（\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}）^{2}-k（\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}）+1}$；
（1）若k=0，则$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}=1$；
∴$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}=1$；
（2）若k≠0，${k}^{2}（\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}）^{2}-k（\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}）+1$的最小值为$\frac{4{k}^{2}-{k}^{2}}{4{k}^{2}}=\frac{3}{4}$，则：
$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}$取到最大值为$\frac{4}{3}$；
∴$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$取到最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
综上得$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 考查数量积的计算公式，知道要求$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值，先去求$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}$，注意不要漏了k=0的情况，二次函数的最值的计算公式．