Question

19．已知过函数f（x）=x³+ax²+1的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为-3．
（1）求a、b的值；
（2）求m的取值范围，使不等式f（x）≤m-1987对于x∈[-1，4]恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，利用在点B（1，b）的切线的斜率为-3列式求出a的值，再把点B的坐标代入函数解析式求a的值；
（2）求出导函数的零点，由零点对定义域分段，利用单调性求出函数f（x）在x∈[-1，4]上的最值，由最大值小于等于m-1987求解m的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax
依题意得k=f′（1）=3+2a=-3，∴a=-3
∴f（x）=x³-3x²+1，把B（1，b）代入得b=f（1）=-1
∴a=-3，b=-1
（2）令f′（x）=3x²-6x=0得x=0或x=2
∵f（0）=1，f（2）=2³-3×2²+1=-3
f（-1）=-3，f（4）=17
∴x∈[-1，4]，-3≤f（x）≤17
要使f（x）≤m-1987对于x∈[-1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤m-1987
∴m≥2004．

点评 本题考查了利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，关键是掌握不等式恒成立时所取的条件．是中档题．