Question

11．已知函数f（x）=xe^x，记f₀（x）=f′（x），f₁（x）=f₀′（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x）且x₂＞x₁，对于下列命题：
①函数f（x）存在平行于x轴的切线；   
②$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0；
③f′₂₀₁₅（x）=xe^x+2017e^x； 
④f（x₁）+x₂＞f（x₂）+x₁．
其中正确的命题序号是①③（写出所有满足题目条件的序号）．

Answer 1

分析 根据导数的几何意义判断①正确，根据导数和函数的单调性判断②错；根据导数的运算，得到③正确，根据导数与函数的单调性的关系判断④错．

解答 解：对于①，因为f′（x）=（x+1）e^x，易知f′（-1）=0，函数f（x）存在平行于x轴的切线，故①正确；
对于②，因为f′（x）=（x+1）e^x，所以x∈（-∞，-1）时，函数f（x）单调递减，x∈（-1，+∞）时，函数f（x）单调递增，故$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0不能确定，故②错；
对于③，因为f₁（x）=f′（x₀）=xe^x+2e^x，f₂（x）=f₁′（x）=xe^x+3e^x，…，f_n（x）=f′_n-1（x）=xe^x+（n+1）e^x，
所以f′₂₀₁₅（x）=f₂₀₁₆（x）=xe^x+2017e^x；故③正确；
对于④，f（x₁）+x₂＞f（x₂）+x₁等价于f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂，构建函数h（x）=f（x）-x，则h′（x）=f′（x）-1=（x+1）e^x-1，
易知函数h（x）在R上不单调，故④错；
故答案为：①③．

点评 本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性的关系，以及导数的运算法则，属于中档题．