Question

1．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）设集合A={x|f（x）=x}．
①若A={1，2}，且f（0）=2，求f（x）的解析式；
②若A={1}，且a≥1，求f（x）在区间[-2，2]上的最大值M（a）．
（2）设f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，a＞0，f（c）=0，且当0＜x＜c时，f（x）＞0．用反证法证明：$\frac{1}{a}＞c$．

Answer 1

分析 （1）①根据根与系数的关系求出a，b的值，从而求出f（x）的表达式；②根据韦达定理以及二次函数的对称轴得到M（a）即可；
（2）假设$\frac{1}{a}$≤c，根据f（c）=0，所以另一个根为$\frac{1}{a}$，得出矛盾，从而原结论正确．

解答 解：（1）①由f（0）=2可知c=2，又A={1，2}，
故1，2是方程ax²+（b-1）x+c=0的两实根．
∴1+2=$\frac{1-b}{a}$，2=$\frac{c}{a}$，
解得a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
②由题意知，方程ax²+（b-1）x+c=0有两相等实根x₁=x₂=1，
根据韦达定理得到：1+1=$\frac{1-b}{a}$，1=$\frac{c}{a}$，即b=1-2a，c=a，
∴f（x）=ax²+bx+c=ax²+（1-2a）x+a，x∈[-2，2]，
其对称轴方程为x=$\frac{2a-1}{2a}$=1-$\frac{1}{2a}$，
又a≥1，故1-$\frac{1}{2a}$∈[$\frac{1}{2}$，1），
∴M（a）=f（-2）=9a-2，
（2）假设$\frac{1}{a}$≤c，设f（x）=0的两个实根为x₁，x₂，则x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
因为f（c）=0，所以另一个根为$\frac{1}{a}$，即f（$\frac{1}{a}$）=0，
而f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，且a＞0，
所以$\frac{1}{a}$∈（0，c）这与当0＜x＜c时，f（x）＞0矛盾．
所以假设不成立，即$\frac{1}{a}$＞c．

点评 本题考察了二次函数的性质，考察韦达定理，反证法，本题是一道中档题．