Question

20．直线y=t与函数f（x）=$\sqrt{2x}（x＞0），g（x）={e^x}$的图象分别交于A，B两点，则线段AB的长度的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意得到A（$\frac{1}{2}$t²，t），B（lnt，t），其中$\frac{1}{2}$t²＞lnt，且t＞0，表示|AB|，构造函数，确定函数的单调性，即可求出|AB|的最小值．

解答 解：∵直线y=t与函数f（x）=$\sqrt{2x}（x＞0），g（x）={e^x}$的图象分别交于A，B两点，
∴A（$\frac{1}{2}$t²，t），B（lnt，t），其中$\frac{1}{2}$t²＞lnt，且t＞0，
∴|AB|=$\frac{1}{2}$t²-lnt
设函数f（t）=$\frac{1}{2}$t²-lnt，
f′（t）=t-$\frac{1}{t}$，t＞0，
令f′（t）=0，解得t=1，
当f′（t）＞0，即t＞1时，函数在（1，+∞）单调递增，
当f′（t）＜0，即0＜t＜1时，函数在（0，1）单调递减，
故t=1时，函数有最小值，最小值为f（1）=$\frac{1}{2}$，
故线段AB的长度的最小值为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查最值问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．